Analyse Fonctionnelle

Master 1 MFA, années 20{12,13,14,15,16}. (c’est fini)

Le programme est celui d’un cours classique d’analyse fonctionnelle

  • rappel et complément sur les espaces métriques, les espaces vectoriels normés, théorème de Stone-Weierstrass, Ascoli-Arzelà (ces deux théorèmes sont rédigés dans ce document)
  • Théorème de Baire et ses conséquences (Banach-Steinhaus, application ouverte, graphe fermé)
  • Théorème de Hahn-Banach, version analytique, version géométrique
  • Topologie faible, faible*
  • Espace

La durée du cours est 24h, soit 12 séances de 2h.

Archives

Les travaux dirigés sont donnés par Jean-Baptiste Bardet et Olivier Benois. Les fiches de TD et quelques documents se trouvent donc sur sa page.

Plan détaillé
  • Chapitre 0 (révisions et éventuellement compléments de topologie dans les métriques ou les normés)
    • espace métrique, définitions usuelles (convergence, suite de Cauchy, complet, séparable), caractérisation de l’adhérence via les suites, compacité (équivalence avec la caractérisation via les suites), Tychonov
    • evn : définitions usuelles, exemples , équivalence de normes
      • applications linéaires, continuité, norme sur l’ensemble des applications linéaires continues
      • Lemme de Riesz : si sev fermé strict de alors pour tout il existe de norme 1 et tel que
      • Banach : définition et caractérisation via les séries absolument convergentes
      • si est un Banach alors muni de la norme de l’opérateur est un Banach
      • Dimension finie vs dimension infinie : toutes les normes sont équivalentes en dimension finie. Théorème : de dimension finie si et seulement la boule unité est compacte
    • Stone-Weierstrass : énoncé en cours, preuve donnée dans un polycopié
    • Arzelà-Ascoli : énoncé en cours, preuve donnée dans un polycopié
  • Chapitre 1 : Baire et ses conséquences
    • Lemme de Baire
    • Théorème de Banach-Steinhaus
      • le théorème
      • si suite d’opérateurs continus de dans (deux Banach) converge ponctuellement alors sa limite est un opérateur continue et on a une majoration de la norme de cette limite.
      • toute famille de ponctuellement bornée est uniformément bornée.
    • Application ouverte
    • Graphe fermé
    • Conséquences : théorème d’isomorphisme de Banach. Si muni de des normes et est un Banach et que alors est sont équivalentes.
  • Chapitre 2 : Hahn-Banach
    • Lemme de Zorn (énoncé)
    • Théorème de Hahn-Banach (forme analytique). Conséquences
      • extension d’une application linéaire continue sur un sev de
      • pour tout dans il existe de norme 1 telle que
      • .
      • si borné à travers alors borné (à l’aide de Banach-Steinhaus et Hahn-Banach)
    • Théorème de Hahn-Banach (forme géométrique).
      • définitions : hyperplan affine, séparation au sens large ou au sens strict, jauge d’un convexe
      • 1ère forme géométrique : séparation au sens large d’un convexe ouvert et d’un convexe
      • 2nde forme géométrique : séparation au sens strict d’un convexe compact et d’un convexe fermé
    • Quelques conséquences : un critère de densité d’une partie de , une partie de bornée à travers est bornée
  • Chapitre 3 :
    • rappels élémentaires : pour (structure d’e.v.), (structure d’e.v.) et (pas de structure d’e.v.)
    • le cas qui va bien : dans la suite du cours
      • Inégalités de Hölder, de Minkowski (+cas d’égalité), de Hölder généralisée
      • est un e.v.n avec la norme qui va bien
      • résultats divers
      • théorème de Riesz-Fischer, la convergence forte entraîne à une sous-suite près la convergence presque-partout
      • fonctions simples : définition, densité dans , résultats divers
    • Convergence faible - dualité dans
      • définition de la convergence faible dans (faible- si )
      • exemple
      • toute suite qui converge faiblement est bornée, la norme est semi-continue inférieurement par rapport à la convergence faible (),
      • dualité : théorème de représentation de Riesz. La preuve utilise des arguments élémentaires pour
        • l’uniforme convexité de () (démontrée par des inégalités et la caractérisation de l’uniforme convexité par les suites)
        • un lemme de Mac Shane : grosso modo un élément de qui réalise sa norme en un élément et si la norme est Gâteaux différentiable en cet élément alors on peut représenter l’opérateur
        • dans un Banach uniformément convexe tout élément de $E’$ réalise sa norme en unique élément de norme 1
        • la norme- est Gâteaux differentiable et on en a l’expression via le théorème de convergence dominée de Lebesgue
      • le dual de n’est pas
      • convergence faible et convergence en norme entraîne convergence forte
      • Cas de la mesure de Lebesgue
        • séparable pour
        • densité des fonctions continues à support compact
        • n’est pas séparable
        • extraction de sous-suite bornée (énoncée mais démonstration dans le chapitre suivant)
  • Chapitre 4 : topologie faible, faible-, espace réflexif, séparable
    • Topologie faible :
      • définition de la topologie la moins fine rendant continue tous les éléments de
      • base de voisinage
      • la topologie faible est séparée
      • propriétés sur la convergence faible et forte
      • la topologie faible et forte coïncident en dimension finie. Mais en dimension finie ce n’est pas le cas car tout voisinage de l’origine pour la topologie faible contient un s.e.v. de dimension infinie
      • convexité et topologie faible : Mazur ou un convexe est faiblement fermé ssi il est fortement fermé.
    • Espace réflexif
      • Définition : comment injecter dans le bidual via
      • exemples
      • un s.e.v. propre et fermé d’un Banach réflexif est réflexif
      • réflexif ssi réflexif
      • topologie faible et espace réflexif : de toute suite borné de (Banach) réflexif on peut extraire une sous suite qui converge faiblement. (la version est donc démontrée)
    • Topologie faible-
      • base de voisinage
      • la topologie faible- est séparée
      • propriétés sur la convergence faible, faible- et forte
      • un élément de continue pour la topologie faible- est de la forme , .
      • Théorème de Alaoglu
Références
  • Analyse fonctionnelle. Théorie et applications. H. Brézis. Le polycopié d’exercices est disponible à la bibliothèque de Jussieu (et se trouve sur Internet). La version anglaise récente contient des exercices.
  • Real Analysis. E. DiBenedetto. Ce livre contient notamment un chapitre sur les espaces de Banach et les résultats principaux d’analyse fonctionnelle.
  • Éléments d’analyse fonctionnelle. F. Hirsch et G. Lacombe. Une approche différente de celle du livre de Brézis.
  • Analyse fonctionnelle. Exercices corrigés. G. Lacombe et P. Massat. (le livre d’exercices associé au livre de Hirsch et Lacombe)
  • Analyse fonctionnelle et théorie des opérateurs. J. Charles, M. Mbekhta et H. Queffélec. C’est un rappel de cours et des exercices corrigés.
  • Principles of functional analysis. M. Schechter.
  • Analyse fonctionnelle. B. Maury. Ce livre regroupe un rappel de cours, des exercices et des problèmes corrigés.