L2 algèbre, semaines 7 et 8.
14/11/2015
Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
- Diviseurs de zéro – anneau intègre (anneaux commutatifs intègres)
- définition: diviseur de zéro, un élément est régulier ssi il n’est pas diviseur de zéro, anneau intègre
- Corps, sous corps
- Idéaux – anneau quotient
- définition d’un idéal
- Divisibilité - anneau principal
- définition : idéal principal, anneau principal, \(a\) divise \(b\)
- proposition : \((a)=aA\) (\((a)\) idéal engendré par \(a\)), équivalence entre divisibilité et inclusion des idéaux \((a)\) et \((b)\)
- éléments associés, règle sur la divisibilité
- Idéal principal, anneau principal
- deux exemples
- PGCD, PPCM, éléments irréductibles dans un anneau principal
- définition/proposition sur le pgcd de deux éléments (existence, identité de Bezout) (preuve à l’aide des idéaux)
- idem pour le ppcm de deux éléments
- définition : éléments premiers entre eux, élément irréductible
- Lemme de Gauss, lemme d’Euclide
Les polynômes
The very first
- Définitions
- Définitions : polynôme nul, degré, valuation
- propriétés élémentaires sur le degré et la valuation
- définition de la somme, du produit de deux polynômes, multiplication par un scalaire
- degré du produit de deux polynômes, \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau commutatif unitaire intègre
- notation définitive avec l’indéterminée \(X\), identification des constantes
- Deux divisions
- division euclidienne ou suivant les puissances décroissantes (énoncé et exemple)
- division les puissances croissantes à l’ordre \(k\) (énoncé, exemple)
- \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau principal
- énoncé du théorème