L2 algèbre, semaines 7 et 8.

14/11/2015
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

  • Diviseurs de zéro – anneau intègre (anneaux commutatifs intègres)
    • définition: diviseur de zéro, un élément est régulier ssi il n’est pas diviseur de zéro, anneau intègre
  • Corps, sous corps
  • Idéaux – anneau quotient
    • définition d’un idéal
  • Divisibilité - anneau principal
    • définition : idéal principal, anneau principal, divise
    • proposition : ( idéal engendré par ), équivalence entre divisibilité et inclusion des idéaux et
    • éléments associés, règle sur la divisibilité
    • Idéal principal, anneau principal
    • deux exemples
  • PGCD, PPCM, éléments irréductibles dans un anneau principal
    • définition/proposition sur le pgcd de deux éléments (existence, identité de Bezout) (preuve à l’aide des idéaux)
    • idem pour le ppcm de deux éléments
    • définition : éléments premiers entre eux, élément irréductible
    • Lemme de Gauss, lemme d’Euclide

Les polynômes

The very first

  • Définitions
    • Définitions : polynôme nul, degré, valuation
    • propriétés élémentaires sur le degré et la valuation
    • définition de la somme, du produit de deux polynômes, multiplication par un scalaire
    • degré du produit de deux polynômes, est un anneau commutatif unitaire intègre
    • notation définitive avec l’indéterminée , identification des constantes
  • Deux divisions
    • division euclidienne ou suivant les puissances décroissantes (énoncé et exemple)
    • division les puissances croissantes à l’ordre (énoncé, exemple)
  • est un anneau principal
    • énoncé du théorème