L2 algèbre, semaine 12.

7/12/2014
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

Suite et fin du cours avec les fractions rationnelles.

  • Fractions rationnelles (suite et fin)
    • 1er théorème de décomposition d’une fraction rationnelle : si \(Q=Q_1 \cdots Q_r\) avec \(Q_1,\ldots,Q_r\) premiers entre eux alors la fraction rationnelle \(\frac{P}{Q}\) avec \(\text{deg}(P)< \text{deg}(Q)\) et \(P\) et \(Q\) premiers entre eux se décompose de façon unique en \(\displaystyle \frac{P}{Q}= \frac{P_1}{Q_1}+\cdots + \frac{P_r}{Q_r}\) où les \(P_i\) sont des polynômes vérifiant \(\text{deg}(P_i)< \text{deg}(Q_i)\) et \(P_i\), \(Q_i\) premiers entre eux.
    • 2ème théorème de décomposition d’une fraction rationelle : si \(Q\) est un polynôme irréductible et \(P\) un polynôme premier avec \(Q\) de degré strictement inférieur à celui de \(Q^n\) (\(n\) entier naturel non nul) alors la fraction rationnelle \(\frac{P}{Q^n}\) se décompose de façon unique en \(\displaystyle\frac{P}{Q^n}= \frac{\rho_1}{Q^n}+ \frac{\rho_{2}}{Q^{n-1}}+\cdots + \frac{\rho_n}{Q}\) où les \(\rho_i\) sont des polynômes de degré strictement inférieurs à celui de \(Q\) et où \(\rho_1\) est non nul.
    • Application : décomposition d’une fraction rationnelle
    • Cas des fractions rationnelles complexes, éléments simples de 1ère espèce.
    • Cas des fractions rationnelles réelles, éléments simples de 1ère espèce, 2nde espèce.