L2 algèbre, semaine 7.

8/11/2013
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

(suite et fin de la partie sur les anneaux)

  • Divisibilité - anneau principal
    • définition : \(a\) divise \(b\)
    • proposition : \((a)=aA\) (\((a)\) idéal engendré par \(a\)), équivalence entre divisibilité et inclusion des idéaux \((a)\) et \((b)\)
    • éléments associés, règle sur la divisibilité
    • Idéal principal, anneau principal
    • deux exemples
  • PGCD, PPCM, éléments irréductibles dans un anneau principal
    • définition/proposition sur le pgcd de deux éléments (existence, identité de Bezout) (preuve à l’aide des idéaux)
    • idem pour le ppcm de deux éléments
    • définition : éléments premiers entre eux, élément irréductible
    • Lemme de Gauss, lemme d’Euclide

Les polynômes

The very first

  • Définitions
    • Définitions : polynôme nul, degré, valuation
    • propriétés élémentaires sur le degré et la valuation
    • définition de la somme, du produit de deux polynômes, multiplication par un scalaire
    • degré du produit de deux polynômes, \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau commutatif unitaire intègre
    • notation définitive avec l’indéterminée \(X\), identification des constantes
  • Deux divisions
    • division euclidienne ou suivant les puissances décroissantes (énoncé)