Définitions

Un anneau $(A,+,\cdot)$ est un ensemble (non vide) muni de deux lois de composition interne telle que

• $(A,+)$ groupe commutatif (loi appelée addition)
• la loi “$\cdot$” est associative (loi appelée multiplication)
• la multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à l’addition, $$a(b+c)=ab+ac \\ (b+c)a=ba+ca$$

Notations

• on note $-a$ le symétrique de $a$ par rapport à la loi $+$, et l’on appelle opposé de $a$.
• $0_A$ désigne le neutre (0) pour la loi $+$
• $1_A$ désigne le neutre pour la loi $\cdot$

Règles de calculs

$\forall a\in A$ on a $0_A\cdot a=a\cdot 0_A=0_A$. L’élément $0_A$ est dit absorbant. On écrit $$a\cdot b = a \cdot(b+0_A)=a\cdot b+ a\cdot 0_A$$ d’où $a\cdot 0_A=0_A$. On fait de même ($ba=\cdots$) pour démontrer $0_A a= 0_A$

Règles de calculs (suite)

• Pour tout $n\in \N\setminus\{0\}$ on note $$(-x)^n=\begin{cases} x^n & \text{ si $n$ pair}, \\ - x^n & \text{ si $n$ impair.} \end{cases}$$

• Pour tout $n\in\N$ on note $na=a+a+\cdots+a$, on somme $n$ fois $a$. Pour des valeurs négatives, on définit $(-n)a=-(na)$.

• Si $A$ est unitaire $(-1_A)x=-x=x(-1_A)$

• Si $A$ unitaire et non réduit à $\{0_A\}$ (anneau trivial) alors $0_A\neq 1_A$. En effet si $a\in A\setminus\{0_A\}$ on a $$a\cdot 0_A=0_A\cdot a= 0_A \neq a=a\cdot 1_A=1_A \cdot a$$ d’où $1_A\neq 0_A$.

Règles de calculs (suite)

Comme la multiplication est distributive par rapport à l’addition (commutative et associative) on peut écrire les sommes : si $(p,q)\in\N^*\times \N^*$, $\forall a_1,\ldots,a_p\in A$, $\forall b_1,\ldots, b_q\in A$ $$(\sum_{i=1}^p a_i) \cdot (\sum_{j=1}^{q} b_j) = \sum_{i=1}^{p}(\sum_{j=1}^{q} a_i b_j) = \sum_{j=1}^{q}(\sum_{i=1}^{p} a_i b_j) = \sum_{\substack {1\leq i\leq p \\ 1\leq j \leq q} } a_i b_j$$

Exemples

• $(\mathcal{M}_n(\C),+,\cdot)$ (opérations usuelles) : anneau unitaire non commutatif

• $(\R,+,\cdot)$ anneau unitaire commutatif

• $(2\Z,+,\cdot)$ anneau non unitaire commutatif

• $(\Z/n\Z,+,\cdot)$ anneau unitaire commutatif

Définitions

Soit $(A,+,\cdot)$ et $(B,+,\cdot)$ deux anneaux. Une application $f$ de $A$ dans $B$ est un morphisme d’anneau si $f$ vérifie, pour tout $a,b\in A$ $$\begin{gathered} f(a+b)=f(a)+f(b) \\ f(ab)=f(a)f(b). \end{gathered}$$

Si de plus les deux anneaux sont unitaires, un morphisme d’anneau $f$ est dit unitaire s’il vérifie de plus $f(1_A)=1_B$

• Un morphisme d’anneau bijectif est appelé isomorphisme et on dit que les anneaux $A$ et $B$ sont isomorphes.

Exemples

Voici deux exemples de morphisme d’anneau unitaires

• $\begin{aligned}[t] (\Z,+,\cdot) & \mapsto (\Z/n\Z,+,\cdot) \\ k &\mapsto \dot{k} \end{aligned}$

• $\begin{aligned}[t] (\Z,+,\cdot) & \mapsto (A,+,\cdot) \\ n & \mapsto n1_A \end{aligned}$ (avec $A$ unitaire)

Sous anneau

Définition

Soit $(A,+,\cdot)$ un anneau. Une partie non vide $C$ de $A$ est appelée sous-anneau de $A$ si $C$ est stable par addition et multiplication et si $C$ est un anneau pour l’addition et la multiplication induites. De façon équivalente :

• $(C,+)$ sous groupe de $(A,+)$
• si $a,b\in C$ alors $ab\in C$

Si $(A,+,\cdot)$ est unitaire le sous anneau est dit unitaire s’il contient l’élément $1_A$.

Proposition

Soit $(A,+,\cdot)$ et $(B,+,\cdot)$ deux anneaux et $f$ un morphisme d’anneau de $A$ dans $B$.

• Si $C$ est sous-anneau de $A$ alors $f(C)$ est un sous-anneau de $B$

• Si $C'$ est un sous anneau de $B$ alors $f^{-1}(C')$ est un sous-anneau de $A$

• Preuve : exercice