Anneaux, Corps, Idéaux

O.G.

23 octobre 2015

Anneaux

Définitions

Un anneau \((A,+,\cdot)\) est un ensemble (non vide) muni de deux lois de composition interne telle que

  • \((A,+)\) groupe commutatif (loi appelée addition)
  • la loi “\(\cdot\)” est associative (loi appelée multiplication)
  • la multiplication est distributive à droite et à gauche par rapport à l’addition, \[ a(b+c)=ab+ac \\ (b+c)a=ba+ca \]

L’anneau \(A\) est dit commutatif si “\(\cdot\)” est commutative; unitaire si la loi “\(\cdot\)” admet un élément neutre.

Notations

  • on note \(-a\) le symétrique de \(a\) par rapport à la loi \(+\), et l’on appelle opposé de \(a\).
  • \(0_A\) désigne le neutre (0) pour la loi \(+\)
  • \(1_A\) désigne le neutre pour la loi \(\cdot\)

Règles de calculs

\(\forall a\in A\) on a \(0_A\cdot a=a\cdot 0_A=0_A\). L’élément \(0_A\) est dit absorbant. On écrit \[a\cdot b = a \cdot(b+0_A)=a\cdot b+ a\cdot 0_A\] d’où \(a\cdot 0_A=0_A\). On fait de même (\(ba=\cdots\)) pour démontrer \(0_A a= 0_A\)

\(\forall a,b\in A\) on a \((-a)b=a(-b)=-(ab)\) et \((-a)(-b)=ab\).

On écrit que \(a+(-a)=0_A\) et on “multiplie à droite” par \(b\): \[ ab+(-a)b=0_A \text{ d'où } -(ab)=(-a)b. \] De même en multipliant à gauche par \(a\) l’égalité \(b+(-b)=0_A\) on obtient \[ 0_A=a(b+(-b))=ab+a(-b) \text{ d'où } -(ab)=a(-b). \] Pour la dernière égalité on écrit \((-a)(-b)=(a)(-(-b))=ab\) car \(-(-b)=b\)

Règles de calculs (suite)

  • Pour tout \(n\in \N\setminus\{0\}\) on note \[ (-x)^n=\begin{cases} x^n & \text{ si $n$ pair}, \\ - x^n & \text{ si $n$ impair.} \end{cases}\]

  • Pour tout \(n\in\N\) on note \(na=a+a+\cdots+a\), on somme \(n\) fois \(a\). Pour des valeurs négatives, on définit \((-n)a=-(na)\).

  • Si \(A\) est unitaire \((-1_A)x=-x=x(-1_A)\)

  • Si \(A\) unitaire et non réduit à \(\{0_A\}\) (anneau trivial) alors \(0_A\neq 1_A\). En effet si \(a\in A\setminus\{0_A\}\) on a \[ a\cdot 0_A=0_A\cdot a= 0_A \neq a=a\cdot 1_A=1_A \cdot a \] d’où \(1_A\neq 0_A\).

Règles de calculs (suite)

Comme la multiplication est distributive par rapport à l’addition (commutative et associative) on peut écrire les sommes : si \((p,q)\in\N^*\times \N^*\), \(\forall a_1,\ldots,a_p\in A\), \(\forall b_1,\ldots, b_q\in A\) \[ (\sum_{i=1}^p a_i) \cdot (\sum_{j=1}^{q} b_j) = \sum_{i=1}^{p}(\sum_{j=1}^{q} a_i b_j) = \sum_{j=1}^{q}(\sum_{i=1}^{p} a_i b_j) = \sum_{\substack {1\leq i\leq p \\ 1\leq j \leq q} } a_i b_j \]

Si \(A\) est commutatif (la loi “\(\cdot\)”) alors on dispose de la formule du binôme de Newton \[ (a+b)^n=a^n+\sum_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k b^{n-k} + b^n \] Attention : en général (si les éléments \(a\) et \(b\) ne commutent pas) \[ (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2\neq a^2+ 2ab+b^2 \]

Exemples

Exemples

  • \((\mathcal{M}_n(\C),+,\cdot)\) (opérations usuelles) : anneau unitaire non commutatif

  • \((\R,+,\cdot)\) anneau unitaire commutatif

  • \((2\Z,+,\cdot)\) anneau non unitaire commutatif

  • \((\Z/n\Z,+,\cdot)\) anneau unitaire commutatif

Morphisme d’anneau

Définitions

Soit \((A,+,\cdot)\) et \((B,+,\cdot)\) deux anneaux. Une application \(f\) de \(A\) dans \(B\) est un morphisme d’anneau si \(f\) vérifie, pour tout \(a,b\in A\) \[ \begin{gathered} f(a+b)=f(a)+f(b) \\ f(ab)=f(a)f(b). \end{gathered} \]

Si de plus les deux anneaux sont unitaires, un morphisme d’anneau \(f\) est dit unitaire s’il vérifie de plus \(f(1_A)=1_B\)

  • Un morphisme d’anneau bijectif est appelé isomorphisme et on dit que les anneaux \(A\) et \(B\) sont isomorphes.

Exemples

Voici deux exemples de morphisme d’anneau unitaires

  • \(\begin{aligned}[t] (\Z,+,\cdot) & \mapsto (\Z/n\Z,+,\cdot) \\ k &\mapsto \dot{k} \end{aligned}\)

  • \(\begin{aligned}[t] (\Z,+,\cdot) & \mapsto (A,+,\cdot) \\ n & \mapsto n1_A \end{aligned}\) (avec \(A\) unitaire)

Sous anneau

Définition

Soit \((A,+,\cdot)\) un anneau. Une partie non vide \(C\) de \(A\) est appelée sous-anneau de \(A\) si \(C\) est stable par addition et multiplication et si \(C\) est un anneau pour l’addition et la multiplication induites. De façon équivalente :

  • \((C,+)\) sous groupe de \((A,+)\)
  • si \(a,b\in C\) alors \(ab\in C\)

Si \((A,+,\cdot)\) est unitaire le sous anneau est dit unitaire s’il contient l’élément \(1_A\).

Proposition

Soit \((A,+,\cdot)\) et \((B,+,\cdot)\) deux anneaux et \(f\) un morphisme d’anneau de \(A\) dans \(B\).

  • Si \(C\) est sous-anneau de \(A\) alors \(f(C)\) est un sous-anneau de \(B\)
  • Si \(C'\) est un sous anneau de \(B\) alors \(f^{-1}(C')\) est un sous-anneau de \(A\)

  • Preuve : exercice