Un anneau \((A,+\cdot)\) est un ensemble (non vide) muni de deux lois de composition interne telle que
L’anneau \(A\) est dit commutatif si “\(\cdot\)” est commutative; unitaire si la loi “\(\cdot\)” admet un élément neutre.
\(\forall a\in A\) on a \(0_A\cdot a=a\cdot 0_A=0_A\). L’élément \(0_A\) est dit absorbant. On écrit \[a\cdot b = a \cdot(b+0_A)=a\cdot b+ a\cdot 0_A\] d’où \(a\cdot 0_A=0_a\). On fait de même (\(ba=\cdots\)) pour démontrer \(0_A a= 0_A\)
\(\forall a,b\in A\) on a \((-a)b=a(-b)=-(ab)\) et \((-a)(-b)=ab\).
On écrit que \(a+(-a)=0_A\) et on “multiplie à droite” par \(b\): \[ ab+(-a)b=0_A \text{ d'où } -(ab)=(-a)b. \] De même en multipliant à gauche par \(a\) l’égalité \(b+(-b)=0_A\) on obtient \[ 0_A=a(b+(-b))=ab+a(-b) \text{ d'où } -(ab)=a(-b). \] Pour la dernière égalité on écrit \((-a)(-b)=(a)(-(-b))=ab\) car \(-(-b)=b\)
Pour tout \(n\in \N\setminus\{0\}\) on note \[ (-x)^n=\begin{cases} x^n & \text{ si $n$ pair}, \\ - x^n & \text{ si $n$ impair.} \end{cases}\]
Pour tout \(n\in\N\) on note \(na=a+a+\cdots+a\), on somme \(n\) fois \(a\). Pour des valeurs négatives, on définit \((-n)a=-(na)\).
Si \(A\) est unitaire \((-1_A)x=-x=x(-1_A)\)
Si \(A\) unitaire et non réduit à \(\{0_A\}\) (anneau trivial) alors \(0_A\neq 1_A\). En effet si \(a\in A\setminus\{0_A\}\) on a \[ a\cdot 0_A=0_A\cdot a= 0_A \neq a=a\cdot 1_A=1_A \cdot a \] d’où \(1_A\neq 0_A\).
Comme la multiplication est distributive par rapport à l’addition (commutative et associative) on peut écrire les sommes : si \((p,q)\in\N^*\times \N^*\), \(\forall a_1,\ldots,a_p\in A\), \(\forall b_1,\ldots, b_q\in A\) \[ (\sum_{i=1}^p a_i) \cdot (\sum_{j=1}^{q} b_j) = \sum_{i=1}^{p}(\sum_{j=1}^{q} a_i b_j) = \sum_{j=1}^{q}(\sum_{i=1}^{p} a_i b_j) = \sum_{\substack {1\leq i\leq p \\ 1\leq j \leq q} } a_i b_j \]
Si \(A\) est commutatif (la loi “\(\cdot\)”) alors on dispose de la formule du binôme de Newton \[ (a+b)^n=a^n+\sum_{k=1}^{n-1} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^k b^{n-k} + b^n \] Attention : en général (si les éléments \(a\) et \(b\) ne commutent pas) \[ (a+b)^2=a^2+ab+ba+b^2\neq a^2+ 2ab+b^2 \]
\((\mathcal{M}_n(\C),+,\cdot)\) (opérations usuelles) : anneau unitaire non commutatif
\((\R,+,\cdot)\) anneau unitaire commutatif
\((2\Z,+,\cdot)\) anneau non unitaire commutatif
\((\Z/n\Z,+,\cdot)\) anneau unitaire commutatif
Soit \((A,+,\cdot)\) et \((B,+,\cdot)\) deux anneaux. Une application \(f\) de \(A\) dans \(B\) est un morphisme d’anneau si \(f\) vérifie, pour tout \(a,b\in A\) \[ \begin{gathered} f(a+b)=f(a)+f(b) \\ f(ab)=f(a)f(b). \end{gathered} \]
Si de plus les deux anneaux sont unitaires, un morphisme d’anneau \(f\) est dit unitaire s’il vérifie de plus \(f(1_A)=f(1_B)\)
Voici deux exemples de morphisme d’anneau unitaires
\(\begin{aligned}[t] (\Z,+,\cdot) & \mapsto (\Z/n\Z,+,\cdot) \\ k &\mapsto \dot{k} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned}[t] (\Z,+,\cdot) & \mapsto (A,+,\cdot) \\ n & \mapsto n1_A \end{aligned}\) (avec \(A\) unitaire)
Soit \((A,+,\cdot)\) un anneau. Une partie non vide \(C\) de \(A\) est appelée sous-anneau de \(A\) si \(C\) est stable par addition et multiplication et si \(C\) est un anneau pour l’addition et la multiplication induites. De façon équivalente :
Si \((A,+,\cdot)\) est unitaire le sous anneau est dit unitaire s’il contient l’élément \(1_A\).
Soit \((A,+,\cdot)\) et \((B,+,\cdot)\) deux anneaux et \(f\) un morphisme d’anneau de \(A\) dans \(B\).
Si \(C'\) est un sous anneau de \(B\) alors \(f^{-1}(C')\) est un sous-anneau de \(A\)
Preuve : exercice
Soit \((A,+,\cdot)\) un anneau commutatif unitaire. Un élément \(a\in A\) non nul est un diviseur de zéro s’il existe \(b\in A\) avec \(b\neq 0_A\) vérifiant \(ab=0_A\)
Un élément \(a\) est régulier pour la loi “\(\cdot\)” si et seulement si \(a\) n’est pas diviseur de zéro
Preuve :
\((\Z,+,\cdot)\) ne possède pas de diviseur de zéro
\((\mathcal{C}([-1,1],\R),+,\cdot)\) l’espace des fonctions continues de \([0,1]\) dans \(\R\) possède des diviseurs de zéro. Il suffit de construire une fonction nulle sur \([-1,0]\) et une fonction nulle sur \([0,1]\). Avec \(f(x)=x-|x|\) et \(g(x)=x+|x|\) ça marche !
Un anneau \((A,+,\cdot)\) est dit intègre s’il est unitaire commutatif, non réduit à \(\{0_A\}\) et s’il ne possède pas de diviseur de zéro.
Dans un anneau intègre si \(a\neq 0_A\) alors \(ax=ay\) entraîne \(x=y\).
Preuve : si \(ax=ay\) alors \(ax-ay=0_A\), soit \(a(x-y)=0_A\). Comme \(A\) ne possède pas de diviseur de zéro on obtient \(x=y\).
On précise que dans un anneau commutatif unitaire \((A,+,\cdot)\) un élement \(a\) est dit inversible s’il admet un symétrique pour la multiplication, c.-à-d. il existe \(b\in A\) tel que \(ab=1_A\)
Soit \(K\) un anneau commutatif unitaire. On dit que \(K\) est un corps si
Dans un corps il n’existe pas de diviseur de zéro. Si \(a,b\in K\) et vérifient \(ab=0_K\). Supposons que \(a\neq 0_K\), \(a\) étant inversible on écrit \[ 0_K= a^{-1} 0_K = a^{-1} a b = 1_K b = b \]
De la même façon que les sous anneaux, un sous corps \(L\) de \((K,+,\cdot)\) est un sous anneau de \(K\) qui est un corps et de façon équivalente :
Soit \((A,+,\cdot)\) un anneau commutatif unitaire. Un idéal \(I\) de \(A\) est une partie non vide de \(A\) vérifiant
Soit \(f: A \mapsto B\) un morphisme d’anneau unitaire et soit \(J\) un idéal de \(B\). Alors \(f^{-1}(J)\) est un idéal de \(A\). En particulier \(\ker f\subset f^{-1}(J)\) et \(\ker f\) idéal de \(A\).
Nous savons déjà (partie du cours sur les groupes) que \(f^{-1}(J)(\neq \emptyset)\) est un sous groupe de \((A,+)\) car \(f\) morphisme de groupe de \((A,+)\) dans \((B,+)\). Soit \(x\in f^{-1}(J)\) et \(a\in A\). On a \(f(x)\in J\), comme \(J\) est un idéal on en déduit que \(f(a)f(x)\in J\). Comme \(f\) morphisme d’anneau, cela donne \(f(ax)=f(a)f(x)\in J\) soit \(ax\in f^{-1}(J)\).
Comme \(\{0_A\}\subset J\), clairement \(\ker f\subset f^{-1}(J)\).
L’image d’un idéal n’est pas en général un idéal, mais si \(f\) est surjective c’est vrai (exercice)
L’intersection d’une famille d’idéaux de \(A\) est un idéal de \(A\)
Soit \((I_\alpha)_{\alpha\in E}\) une famille d’idéaux
De la même façon que l’on définit le sous groupe “engendré par”, on peut définir l’idéal “engendré par”
Soit \(S\) une partie de \(A\). On appelle idéal engendré par \(S\) l’intersection des idéaux contenant \(S\).
Soit \(A\) un anneau commutatif unitaire et \(I\) un idéal de \(A\).
Notons \(a\equiv b (\text{mod} I)\) ssi \(a-b\in I\).
“\(a\equiv b (\text{mod} I)\)” est une relation d’équivalence sur \(A\) compatible avec l’addition et la multiplication (les 2 l.c.i sur \(A\))
\[ aa'-bb'=a(a'-b')+b'(a-b). \]
Comme \(a'-b'\in I\) on en déduit (définition idéal) que \(a(a'-b')\in I\).
De même \(a-b\in I\), \(b'\in A\) et \(I\) idéal entraînent \(b'(a-b)\in I\).
Comme \((I,+)\) sous groupe : \(aa'-bb'\in I\) On a donc \(aa'\equiv bb' (\text{mod} I)\), la relation d’équivalence est compatible avec la loi ‘\(\cdot\)’.
L’ensemble quotient \(A/I\) est un anneau commutatif unitaire pour les lois \[ \dot{a}+\dot{b}=\dot{\overline{a+b}}\qquad \dot{a}\times \dot{b} = \dot{\overline{ab}}\] où \(\dot{a}\) désigne la classe de \(a\) pour la loi “\(\equiv (\text{mod} I)\)”
Ici on prend le même symbole ‘\(+\)’ et ‘\(\cdot\)’ sur \(A\) et \(A/I\).
1) \((A/I,+)\) est un groupe commutatif (voir cours sur les groupes quotients)
2) Comme d’habitude, il faut montrer l’indépendance par rapport aux choix des représentants
\[ \dot{\overline{ab}}=\dot{a}\times\dot{b} \text{ indépendant du choix }?\] Nous savons (loi ‘\(\cdot\)’ compatible) que si \(\dot{a}=\dot{a'}\) et \(\dot{b}=\dot{b'}\) alors \(ab \equiv a'b' (\text{mod} I)\). Donc \(\dot{\overline{ab}}=\dot{\overline{a'b'}}\).
3) loi ‘\(\cdot\)’ : associative, commutative, élément neutre, distributive ?
\(\dot{{a}}\cdot(\dot{{b}}\cdot \dot{{c}})=\dot{{a}}\cdot(\dot{\overline{bc}})=\dot{\overline{a(bc)}}\). La loi ‘\(\cdot\)’ sur \(A\) est associative, donc \(\dot{{a}}\cdot(\dot{{b}} \cdot \dot{{c}})=\dot{\overline{(ab)c}}=\dot{\overline{ab}}\cdot \dot{{c}}= (\dot{a}\cdot \dot{{b}}) \dot{{c}}\)
\(\dot{a}\cdot\dot{b}=\dot{\overline{ab}}=\dot{\overline{ba}}\) car loi ‘\(\cdot\)’ sur \(A\) commutative. Donc \(\dot{a}\cdot\dot{b}=\dot{b}\cdot\dot{a}\)
élt neutre : \(\dot{\overline{1_A}}\cdot \dot{a}=\dot{\overline{1_A a}}=\dot{a}\)
4) C’est un anneau !
En général on note \(\pi\) le morphisme surjectif canonique de \((A,+,\cdot)\) dans \((A/I,+,\cdot)\) définie par \[\begin{aligned} \pi:& A \mapsto A/I \\ & a \mapsto \overline{a}\end{aligned}\]
Si \(n\in\N\), \(n\Z\) est un idéal de \(\Z\). On construit donc l’anneau quotient \((\Z/n\Z,+,\cdot)\). Il correspond “au calcul modulo \(n\)”.
Dans la suite \((A,+,\cdot)\) est un anneau intègre.
Soit \(a\) et \(b\) deux éléments de \(A\). On dit que \(a\) divise \(b\) dans \(A\) s’il existe \(x\in A\) tel que \(b=ax\) et on écrit \(a|b\).
\(\forall a\in A\), \((a)=aA\). (rappel : \((a)\) est l’idéal engendré par la partie \(\{a\}\))
Si \(I\) idéal contenant \(a\). Par définition de la notion d’idéal, comme \(a\in I\), si \(x\in A\) alors \(ax\in I\). Donc \(aA\subset I\). Ainsi \(aA\) plus petit idéal contenant \(A\).
\(a|b\) si et seulement si \((b)\subset(a)\)
Si \(a|b\) et \(b|a\) (équivaut à \((a)=(b)\)) les éléments \(a\) et \(b\) sont dits associés. De plus il existe \(u\) inversible dans \(A\) tel que \(a=ub\).
Ainsi \(a=uu'a\), comme l’anneau \(A\) est intègre, on obtient \(uu'=1_A\), soit \(u\) inversible.
Un idéal \(I\) est dit principal s’il existe \(a\in A\) tel que \(I=aA=(a)\).
Un anneau \((A,+,\cdot)\) est dit principal si \(A\) est un anneau intègre dans lequel tout idéal est principal.
On peut s’amuser à définir une notion de pgcd, de ppcm dans un anneau intègre avec les idéaux. Cependant c’est un peu plus compliqué et le pgcd (ou le ppcm) n’existe pas nécessairement.
Mais dans un anneau principal, c’est plus facile !
Si \(x\in A\), notons \(\text{Div}(x)\) l’ensemble des diviseurs de \(x\).
Soit \(a\) et \(b\) dans \(A\) (anneau principal). Un élément \(d\in A\) est un pgcd de \(a\) et \(b\) si \[ \text{Div}(a)\cap\text{Div}(b)=\text{Div}(d) \] ce qui veut dire \[ \left\{\begin{gathered} d|a \quad \text{et}\quad d|b \\ \text{tout diviseur commun à $a$ et $b$ est un diviseur de $d$} \end{gathered}\right. \] Le pgcd existe, est unique à une association près, et il existe \(u\) et \(v\) dans \(A\) tels que \[ d=au+bv \quad\text{(revoici Bezout!)} \]
Considérons \(I\) l’idéal engendré par \(\{a,b\}\). Comme \(A\) est principal soit \(d\in A\) tel que \(I=(d)=dA\).
Montrons que \(d\) est un pgcd de \(a,b\).
\[ a\in(d) \Rightarrow \text{ $a$ multiple de $d$ }\Rightarrow \quad d|a\] \[ b\in(d) \Rightarrow \cdots \Rightarrow d|b\]
Donc \(I=(d)=J\) et comme \(d\in J\) il existe \(u\) et \(v\) tels que \(d=au+bv\).
Montrons que \(d\) est un pgcd de \(a\) et \(b\). Soit \(d'\) un diviseur commun à \(a\) et \(b\). Comme \(d=au+bv\) \[ d'|a \Rightarrow d'|au\qquad d'|b \Rightarrow d'|bu\] d’où \(d'|au+bv=d\)
Si \(d'\) est un pgcd de \(a\) et \(b\) alors \(d|d'\) et \(d'|d\), donc \(d\) et \(d'\) sont associés.
Soit \(a\) et \(b\) deux éléments de \(A\). \(m\in A\) est un ppcm de \(a\) et \(b\) si \[(a)\cap (b)=(m).\] L’élément \(m\) existe et est unique à une association près.
\((a)\) et \((b)\) idéaux : \((a)\cap(b)\) idéal. \(A\) étant principal soit \(m\) tel que \((a)\cap (b)=(m)\). Ainsi \(m\) existe.
Si \(m\) et \(m'\) sont deux ppcm alors \((m)=(m')\) impliquent \(m\) et \(m'\) associés.
Deux éléments sont premiers entre eux si \(1_A\) est un PGCD.
\(a\) est irréductible si
\(a\neq 0_A\)
\(a\) n’est pas inversible
tout diviseur de \(a\) est soit inversible, soit associé à \(a\)
Soit \(a,b,c\in A\) (toujours \((A,+,\cdot)\) anneau principal). Si \(a|bc\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux alors \(a|c\).
\(1_A\) est un pgcd de \(a\) et \(b\) : soit \(u,v\in A\) tels que \(1_A=au+bv\).
Ainsi on écrit \(c=acu+bcv\).
Clairement \(a|acu\) et comme \(a|bc\) on obtient \(a|bcv\). D’où \(a| acu+bcv=c\).
Soit \(p,b,c\in A\). Supposons \(p\) irréductible et \(p|bc\). Alors nécessairement \(p|b\) ou \(p|c\).
Si \(p\) ne divise pas \(b\), comme \(p\) est irréductible \(p\) et \(b\) sont premiers entre eux. Le lemme de Gauss permet d’en déduire \(p|c\).