L2 algèbre, semaine 7.
20/10/2014Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
(suite et fin de la partie sur les groupes, permutations)
- groupe symétrique
- signature d’une transposition, signature d’un cycle
- permutation paire, permutation impaire
Anneaux
- Définitions et propriétés élémentaires
- définition d’un anneau, d’un anneau commutatif, d’un anneau unitaire
- règles de calcul (\(0_A\) est un élément absorbant)
- règles de calcul (\((-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-(a\cdot b)\), etc.,
- notation \(x^n\)
- dans un anneau unitaire non réduit au singleton \(\lbrace 0_A\rbrace\), le neutre pour la loi notée multiplicativement et \(0_A\) sont distincts
- exemples
- règles pour les produits de somme. Pas de formule du binôme en général (sauf dans un anneau commutatif ou si les deux éléments commutent)
- morphismes d’anneau
- sous anneau, l’image d’un sous anneau (par un morphisme d’anneau) est un anneau, de même l’image réciproque
L2 algèbre, semaine 6.
10/10/2014Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
(suite et fin de la partie sur les groupes, permutations)
- énoncé du théorème : toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints. Un document contenant la preuve sera distribué. Deux exemple d’une telle décomposition
- théorème : le groupe symétrique est engendré par les transpositions (il suffit de démontrer que tout cycle se décompose en un produit de transpositions)
- définition de la signature par le nombre d’inversions
- propriétés de la signature (produit des \(x_i-x_j\))
- la signature est un morphisme de groupe de \((\mathcal{S}_n,\circ)\) dans \((\{-1,1\},\times)\) ce qui revient à \(\varepsilon(\sigma\circ \tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)\).
- signature d’une transposition, signature d’un cycle
L2 algèbre, semaine 5.
9/10/2014Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
(suite de la partie sur les groupes)
- tout groupe monogène \((G,*)\) est isomorphe à \((\mathbb{Z},+)\) ou à \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\) selon que \(G\) est d’ordre infini ou d’ordre fini \(n\)
- groupe symétrique
- définition du groupe symétrique, notation, \((\mathcal{S}_n,\circ)\) n’est pas abélien pour \(n\geq 3\)
- définition du support, du point fixe. Résultat sur le support de la composée de deux permutations (notamment deux permutations à supports disjoints commutent)
- définition du groupe monogène engendré par une permutation \(\sigma\), de l’orbite d’un élément, un exemple de permutation et des ses orbites
- définition d’une transposition
- énoncé du théorème : toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints
L2 algèbre, semaine 4.
22/09/2014Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
(suite de la partie sur les groupes)
- théorème de Lagrange (avec preuve)
- groupe quotient
- relation d’équivalence compatible avec une loi de composition interne : définition
- groupe quotient
- relation d’équivalence compatible avec une loi de composition interne
- relation modulo un sous-groupe \(H\) dans le cadre abélien
- décomposition canonique d’un morphisme de groupe
L2 algèbre, semaine 3.
21/09/2014Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
(suite de la partie sur les groupes)
- définition d’un groupe monogène
- groupe produit (loi produit)
- morphisme de groupe :
- propriété (image du neutre, image du symétrique, \(\mathrm{Im} f\) et \(\mathrm{Ker} f\) sont des sous groupes)
- \(f\) injectif si et seulement si \(\mathrm{Ker} f\) réduit au neutre
- groupe fini
- définition de l’ordre d’un groupe, d’un élément, groupe cyclique
- théorème de Lagrange
L2 algèbre, semaines 1 et 2.
20/09/2014Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
Le cours étant destiné aux L2 Math et L2 Info, certains n’ont pas suivi de cours d’arithmétique élémentaire.
Chapitre 1 - arithmétique élémentaire
- propriété fondamentale de \(\mathbb{N}\) (toute partie non vide admet un plus petit élément)
- division euclidienne dans \(\mathbb{Z}\)
- arithmétique dans \(\mathbb{Z}\)
- \(a\) divise \(b\), nombre premier, etc
- Lemme d’Euclide
- décomposition d’un nombre en produit de nombres premiers
- PGCD (définition, identité de Bezout, théorème de Bezout, théorème de Gauss)
- PPCM (définition, égalité \(\vert ab\vert=\textrm{ppcm}(a,b)\times \textrm{pgcd(a,b)}\)).
- algorithme d’Euclide (standard et étendu)
- congruences
Ordre du jour de la CdR-16-09-2014.
11/09/2014Mardi 16 septembre : Commission de la Recherche du Conseil Académique
Voici l’ordre du jour.
Ordre du jour de la CdR-13-05-2014.
11/05/2014Mardi 13 mai : Commission de la Recherche du Conseil Académique
Voici l’ordre du jour.
Mars 2014.
6/03/2014Après deux mois sans mise à jour, en voici quelques unes
- le système des “tags” est actif ; pour éviter de gérer les caractères accentués parameterize est utilisé
- les derniers examens de janvier 2014
- quelques fichiers, enseignements mis à jour
- l’ordre du jour du dernier CS
Ordre du jour de la CdR-11-03-2014.
6/03/2014Mardi 11 mars : Commission de la Recherche du Conseil Académique
Voici l’ordre du jour.