Olivier Guibé

L2 algèbre, semaine 9.

Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info. Cours du 20 novembre 2015.

(Suite de la partie sur les polynômes)

• $\mathbb{K}[X]$ est un anneau principal
  • énoncé du théorème (preuve)
  • conséquences : PGCD, PPCM, Lemme de Gauss, Lemme d’Euclide
  • algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD
  • décomposition d’un polynôme en produit de facteurs irréductibles
  • les polynômes de degré 1 sont irréductibles

• Racines
  • Définitions : fonction polynôme, racine ou zéro d’un polynôme
  • Théorème : $\alpha$ racine de $P$ ssi $(X-\alpha)$ divise $P$
  • racine multiple – ordre d’une racine. Si $a_1,\ldots,a_k$ sont racines distinctes de multiplicité $m_1,\ldots,m_k$ alors $P$ se factorise comme il le vaut bien
  • Cas complexe : Théorème de d’Alembert-Gauss (admis), conséquence pour la factorisation des polynômes à coefficients complexes