L2 algèbre, semaine 6.

23/10/2015
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

La partie du cours sur les permutations est disponible ici.

Grande première : présentation html 5 du cours sur les anneaux ici

(suite et fin de la partie sur les groupes, permutations)

  • énoncé du théorème : toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints. Un document contenant la preuve sera distribué. Deux exemple d’une telle décomposition
  • théorème : le groupe symétrique est engendré par les transpositions (il suffit de démontrer que tout cycle se décompose en un produit de transpositions)
  • définition de la signature par le nombre d’inversions
  • propriétés de la signature (produit des )
  • la signature est un morphisme de groupe de dans ce qui revient à .
  • signature d’une transposition, signature d’un cycle
Anneaux
  • Définitions et propriétés élémentaires
    • définition d’un anneau, d’un anneau commutatif, d’un anneau unitaire
    • règles de calcul ( est un élément absorbant)
    • règles de calcul (, etc.,
    • notation
    • dans un anneau unitaire non réduit au singleton , le neutre pour la loi notée multiplicativement et sont distincts
    • exemples
    • règles pour les produits de somme. Pas de formule du binôme en général (sauf dans un anneau commutatif ou si les deux éléments commutent)
    • morphismes d’anneau
    • sous anneau, l’image d’un sous anneau (par un morphisme d’anneau) est un anneau, de même l’image réciproque