L2 algèbre, semaine 6.
23/10/2015
Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
La partie du cours sur les permutations est disponible ici.
Grande première : présentation html 5 du cours sur les anneaux ici
(suite et fin de la partie sur les groupes, permutations)
- énoncé du théorème : toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints. Un document contenant la preuve sera distribué. Deux exemple d’une telle décomposition
- théorème : le groupe symétrique est engendré par les transpositions (il suffit de démontrer que tout cycle se décompose en un produit de transpositions)
- définition de la signature par le nombre d’inversions
- propriétés de la signature (produit des \(x_i-x_j\))
- la signature est un morphisme de groupe de \((\mathcal{S}_n,\circ)\) dans \((\{-1,1\},\times)\) ce qui revient à \(\varepsilon(\sigma\circ \tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)\).
- signature d’une transposition, signature d’un cycle
Anneaux
- Définitions et propriétés élémentaires
- définition d’un anneau, d’un anneau commutatif, d’un anneau unitaire
- règles de calcul (\(0_A\) est un élément absorbant)
- règles de calcul (\((-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-(a\cdot b)\), etc.,
- notation \(x^n\)
- dans un anneau unitaire non réduit au singleton \(\lbrace 0_A\rbrace\), le neutre pour la loi notée multiplicativement et \(0_A\) sont distincts
- exemples
- règles pour les produits de somme. Pas de formule du binôme en général (sauf dans un anneau commutatif ou si les deux éléments commutent)
- morphismes d’anneau
- sous anneau, l’image d’un sous anneau (par un morphisme d’anneau) est un anneau, de même l’image réciproque