L2 algèbre, semaines 4 et 5.
11/10/2015
Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
(suite de la partie sur les groupes)
- morphisme de groupe :
- propriété (image du neutre, image du symétrique, \(\mathrm{Im} f\) et \(\mathrm{Ker} f\) sont des sous groupes)
- \(f\) injectif si et seulement si \(\mathrm{Ker} f\) réduit au neutre
- groupe fini
- définition de l’ordre d’un groupe, d’un élément, groupe cyclique
- théorème de Lagrange (idées de la preuve et document distribué en cours)
- groupe quotient
- relation d’équivalence compatible avec une loi de composition interne : définition
- groupe quotient
- relation d’équivalence compatible avec une loi de composition interne
- relation modulo un sous-groupe \(H\) dans le cadre abélien
- décomposition canonique d’un morphisme de groupe
- tout groupe monogène \((G,*)\) est isomorphe à \((\mathbb{Z},+)\) ou à \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)\) selon que \(G\) est d’ordre infini ou d’ordre fini \(n\)
- groupe symétrique
- définition du groupe symétrique, notation, \((\mathcal{S}_n,\circ)\) n’est pas abélien pour \(n\geq 3\)
- définition du support, du point fixe. Résultat sur le support de la composée de deux permutations (notamment deux permutations à supports disjoints commutent)
Ce dernier cours n’a pas avancé suffisamment rapidement suite à un incident technique : le tableau s’effaçait très très difficilement, avec des traces en arrière plan. Certainement un produit appliqué sur le tableau.