Examen, autour du cours.
Il est possible que l’examen du cours d’algèbre (des
structures) comporte une ou
des questions de cours.
Par question de cours il faut comprendre “définition, énoncé de théorème” voire
une preuve d’un résultat du cours. Pour cette dernière catégorie voici la liste
(le pdf est ici):
Théorème
Soit \((G,*)\) une groupe et \(H\) une partie non vide de \(G\). \((H,*)\) est un sous groupe de \((G,*)\) si et seulement si - pour tout \((a,b)\in G^2\) l’élément \(a*b\) appartient à \(H\) - pour tout \(a\in H\), si \(a^{-1}\) désigne le symétrique de \(a\) dans \(G\), alors \(a^{-1}\in H\).
Théorème
L’intersection d’une famille non vide de sous-groupes de \((G,*)\) est un sous-groupe de \((G,*)\).
Théorème
Soient \((G,*)\) et \((G',T)\) deux groupes et \(f\) un morphisme de \((G,*)\) dans \((G',T)\). On note \(e\) l’élément neutre de \(G\). Alors
\[\text{$f$ injective}\quad \Leftrightarrow \quad \text{$\ker f=\{e\}$.}\]Théorème
Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\). Alors il existe \(a\in\mathbb{N}\) tel que \(H=a\mathbb{Z}\). }
Proposition
Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux permutations de \(\mathcal{S}_n\). Si \(\sigma\) et \(\tau\) sont à supports disjoints alors elles commutent et \(\mathrm{supp}(\sigma\circ \tau )=\mathrm{supp}(\sigma)\cup\mathrm{supp}(\tau)\).
Proposition
Soit \(f\,:\, A\mapsto B\) un morphisme d’anneau unitaire et soit \(J\) un idéal de \(B\). Alors \(f^{-1}(J)\) est un idéal de \(A\).
Lemme
Lemme de Gauss dans \(\mathbb{Z}\).
Proposition
Les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles.
Proposition
L’élément \(a\) est racine de \(P\) si seulement si \((X-a)\) divise \(P\).
Proposition
Montrer que si \(\alpha\) est racine d’ordre \(k\), avec \(k\geq 2\), du polynôme \(P\) alors \(\alpha\) est racine d’ordre \(k-1\) de \(P'\). Donner un exemple où la quantité \(0\) est racine double de \(P'\) sans être racine de \(P\).