Examen, autour du cours.

9/12/2014
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Il est possible que l’examen du cours d’algèbre (des structures) comporte une ou des questions de cours.
Par question de cours il faut comprendre “définition, énoncé de théorème” voire une preuve d’un résultat du cours. Pour cette dernière catégorie voici la liste (le pdf est ici):

Théorème

Soit \((G,*)\) une groupe et \(H\) une partie non vide de \(G\). \((H,*)\) est un sous groupe de \((G,*)\) si et seulement si - pour tout \((a,b)\in G^2\) l’élément \(a*b\) appartient à \(H\) - pour tout \(a\in H\), si \(a^{-1}\) désigne le symétrique de \(a\) dans \(G\), alors \(a^{-1}\in H\).

Théorème

L’intersection d’une famille non vide de sous-groupes de \((G,*)\) est un sous-groupe de \((G,*)\).

Théorème

Soient \((G,*)\) et \((G',T)\) deux groupes et \(f\) un morphisme de \((G,*)\) dans \((G',T)\). On note \(e\) l’élément neutre de \(G\). Alors

\[\text{$f$ injective}\quad \Leftrightarrow \quad \text{$\ker f=\{e\}$.}\]
Théorème

Soit \(H\) un sous-groupe de \((\mathbb{Z},+)\). Alors il existe \(a\in\mathbb{N}\) tel que \(H=a\mathbb{Z}\). }

Proposition

Soient \(\sigma\) et \(\tau\) deux permutations de \(\mathcal{S}_n\). Si \(\sigma\) et \(\tau\) sont à supports disjoints alors elles commutent et \(\mathrm{supp}(\sigma\circ \tau )=\mathrm{supp}(\sigma)\cup\mathrm{supp}(\tau)\).

Proposition

Soit \(f\,:\, A\mapsto B\) un morphisme d’anneau unitaire et soit \(J\) un idéal de \(B\). Alors \(f^{-1}(J)\) est un idéal de \(A\).

Lemme

Lemme de Gauss dans \(\mathbb{Z}\).

Proposition

Les polynômes de degré \(1\) sont irréductibles.

Proposition

L’élément \(a\) est racine de \(P\) si seulement si \((X-a)\) divise \(P\).

Proposition

Montrer que si \(\alpha\) est racine d’ordre \(k\), avec \(k\geq 2\), du polynôme \(P\) alors \(\alpha\) est racine d’ordre \(k-1\) de \(P'\). Donner un exemple où la quantité \(0\) est racine double de \(P'\) sans être racine de \(P\).