Olivier Guibé

L2 algèbre, semaine 11.

Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

Un polycopié sur les polynômes et fractions rationnelles a été distribué aux étudiants présents.

(Suite et fin de la partie sur les polynômes)

• Polynôme dérivé - lien avec les racines complexes
  • définition du polynôme dérivé, propriétés, dérivées successives, expression de \(D^k(X^n)\), formule de Leibniz (non démontrée), polynôme composé (propriétés)
  • Formule de Taylor pour un polynôme
  • lien entre zéros et polynôme. Théorème \(\alpha\) est racine d’ordre \(k\) de \(P\) (non nul) ssi \(P\), \(P'\),\(\ldots\), \(P^{(k-1)}\) admettent \(\alpha\) comme racine et \(P^{(k)}(\alpha)\neq 0\).
• Fractions rationnelles
  • the very first (définition, quelques idées sur une définition rigoureuse de la fraction rationnelle via une relation d’équivalence, les clasess d’équivalence…)
  • définition, racine, pôle, partie entière, fraction irréductible
  • 1er théorème de décomposition d’une fraction rationnelle (début de la preuve)