Olivier Guibé

L2 algèbre, semaine 10.

Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info. Cours du 14 novembre 2014.

• \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau principal (suite)
  • décomposition d’un polynôme en produit de facteurs irréductibles
  • les polynômes de degré 1 sont irréductibles

• Racines
  • Définitions : fonction polynôme, racine ou zéro d’un polynôme
  • Théorème : \(\alpha\) racine de \(P\) ssi \((X-\alpha)\) divise \(P\)
  • racine multiple – ordre d’une racine. Si \(a_1,\ldots,a_k\) sont racines distinctes de multiplicité \(m_1,\ldots,m_k\) alors \(P\) se factorise comme il le vaut bien
  • Cas complexe : Théorème de d’Alembert-Gauss (admis), conséquence pour la factorisation des polynômes à coefficients complexes
  • Cas rél : caractérisation des polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\), ceux de degré 1 et ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif