L2 algèbre, semaine 7.

20/10/2014
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

(suite et fin de la partie sur les groupes, permutations)

  • groupe symétrique
    • signature d’une transposition, signature d’un cycle
    • permutation paire, permutation impaire
Anneaux
  • Définitions et propriétés élémentaires
    • définition d’un anneau, d’un anneau commutatif, d’un anneau unitaire
    • règles de calcul (\(0_A\) est un élément absorbant)
    • règles de calcul (\((-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-(a\cdot b)\), etc.,
    • notation \(x^n\)
    • dans un anneau unitaire non réduit au singleton \(\lbrace 0_A\rbrace\), le neutre pour la loi notée multiplicativement et \(0_A\) sont distincts
    • exemples
    • règles pour les produits de somme. Pas de formule du binôme en général (sauf dans un anneau commutatif ou si les deux éléments commutent)
    • morphismes d’anneau
    • sous anneau, l’image d’un sous anneau (par un morphisme d’anneau) est un anneau, de même l’image réciproque
  • Diviseurs de zéro – anneau intègre (anneaux commutatifs intègres)
    • définition: diviseur de zéro, un élément est régulier ssi il n’est pas diviseur de zéro, anneau intègre
  • Corps, sous corps
  • Idéaux – anneau quotient
    • définition d’un idéal