Olivier Guibé

L2 algèbre, semaine 6.

Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

(suite et fin de la partie sur les groupes, permutations)

• groupe symétrique
  • signature d’une transposition, signature d’un cycle
  • permutation paire, permutation impaire

Anneaux

• Définitions et propriétés élémentaires
  • définition d’un anneau, d’un anneau commutatif, d’un anneau unitaire
  • règles de calcul (\(0_A\) est un élément absorbant)
  • règles de calcul (\((-a)\cdot b=a\cdot(-b)=-(a\cdot b)\), etc.,
  • notation \(x^n\)
  • dans un anneau unitaire non réduit au singleton \(\lbrace 0_A\rbrace\), le neutre pour la loi notée multiplicativement et \(0_A\) sont distincts
  • exemples
  • règles pour les produits de somme. Pas de formule du binôme en général (sauf dans un anneau commutatif ou si les deux éléments commutent)
  • morphismes d’anneau
  • sous anneau, l’image d’un sous anneau (par un morphisme d’anneau) est un anneau, de même l’image réciproque

• Diviseurs de zéro – anneau intègre (anneaux commutatifs intègres)
  • définition: diviseur de zéro, un élément est régulier ssi il n’est pas diviseur de zéro, anneau intègre
• Corps, sous corps
• Idéaux – anneau quotient
  • définition d’un idéal