L2 algèbre, semaine 5.

15/10/2013
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

(suite de la partie sur les groupes, permutations)

  • groupe symétrique
    • un exemple de permutation et des ses orbites
    • définition d’une transposition
    • énoncé du théorème : toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints, un document contenant la preuve a été distribué. Exemple d’une telle décomposition
    • théorème : le groupe symétrique est engendré par les transpositions (il suffit de démontrer que tout cycle se décompose en un produit de transpositions)
    • définition de la signature par le nombre d’inversions
    • propriétés de la signature (produit des \(x_i-x_j\)), la signature est un morphisme de groupe de \((\mathcal{S}_n,\circ)\) dans \((\{-1,1\},\times)\) ce qui revient à \(\varepsilon(\sigma\circ \tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)\).