L2 algèbre, semaines 9 et 10.

30/11/2012
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

Le cours du 23 novembre ayant été annulé pour me permettre d’assister à une assemblée générale convoquée par le président, le 30 novembre 3 heures de cours ont été dispensées.

(Suite de la partie sur les polynômes)

  • \(\mathbb{K}[X]\) est un anneau principal
    • énoncé du théorème (preuve)
    • conséquences : PGCD, PPCM, Lemme de Gauss, Lemme d’Euclide
    • algorithme d’Euclide pour la recherche du PGCD
    • décomposition d’un polynôme en produit de facteurs irréductibles
    • les polynômes de degré 1 sont irréductibles
  • Racines
    • Définitions : fonction polynôme, racine ou zéro d’un polynôme
    • Théorème : \(\alpha\) racine de \(P\) ssi \((X-\alpha)\) divise \(P\).
    • racine multiple – ordre d’une racine. Si \(a_1,\ldots,a_k\) sont racines distiinctes de multiplicité \(m_1,\ldots,m_k\) alors \(P\) se factorise comme il le faut bien.
    • Cas complexe : Théorème de d’Alembert-Gauss (admis), conséquence pour la factorisation des polynômes à coefficients complexes.
    • Cas rél : caractérisation des polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\), ceux de degré 1 et ceux de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif
  • Polynôme dérivé - lien avec les racines complexes
    • définition du polynôme dérivé, propriétés, dérivées successives, expression de \(D^k(X^n)\), formule de Leibniz (non démontrée), polynôme composé (propriétés),
    • Formule de Taylor pour un polynôme
    • lien entre zéros et polynôme. Théorème \(\alpha\) est racine d’ordre \(k\) de \(P\) (non nul) ssi \(P\), \(P'\),\(\ldots\), \(P^{(k-1)}\) admettent \(\alpha\) comme racine et \(P^{(k)}(\alpha)\neq 0\).