L2 algèbre, semaine 7.

9/11/2012
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

(suite et fin de la partie sur les anneaux)

  • Idéaux – anneau quotient
    • anneau quotient : si \(A\) anneau commutatif unitaire et \(I\) idéal de \(A\), alors \((A/I,+,\cdot)\) est un anneau commutatif unitaire pour les lois bien définies sur l’ensemble quotient \(A/I\)
    • exemple (très rapide) \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +, \cdot )\)
  • Divisibilité - anneau principal
    • définition : \(a\) divise \(b\)
    • proposition : \((a)=aA\) (\((a)\) idéal engendré par \(a\)), équivalence entre divisibilité et inclusion des idéaux \((a)\) et \((b)\)
    • éléments associés, règle sur la divisibilité
    • Idéal principal, anneau principal
    • deux exemples
  • PGCD, PPCM, éléments irréductibles dans un anneau principal
    • définition/proposition sur le pgcd de deux éléments (existence, identité de Bezout) (preuve à l’aide des idéaux)
    • idem pour le ppcm de deux éléments
    • définition : éléments premiers entre eux, élément irréductible
    • Lemme de Gauss, lemme d’Euclide

Les polynômes

  • The very first
    • le polynôme comme une série formelle