L2 algèbre, semaine 5.
Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.
(suite et fin de la partie sur les groupes, permutations)
- groupe symétrique
- un exemple de permutation et des ses orbites
- définition d’une transposition
- énoncé du théorème : toute permutation se décompose en un produit de cycles à supports disjoints, un document contenant la preuve a été distribué. Exemple d’une telle décomposition
- théorème : le groupe symétrique est engendré par les transpositions (il suffit de démontrer que tout cycle se décompose en un produit de transpositions)
- définition de la signature par le nombre d’inversions
- propriétés de la signature (produit des \(x_i-x_j\)), la signature est un morphisme de groupe de \((\mathcal{S}_n,\circ)\) dans \((\{-1,1\},\times)\) ce qui revient à \(\varepsilon(\sigma\circ \tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)\).
- signature d’une transposition, signature d’un cycle
- permutation paire, permutation impaire
À propos de la propriété \(\varepsilon(\sigma\circ \tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)\), si les arguments avancés en cours ne suffisent pas, voici une version étendue. Notons \(A\) l’ensemble des inversions de la permutation \(\sigma\circ \tau\). On a \(A=\lbrace i<j ; \quad \sigma(\tau(i))>\sigma(\tau(j)) \rbrace\) qui se décompose en \(A= A_1 \cup A_2\) avec
\[A_1=\lbrace i<j ; \quad \tau(i)<\tau(j)\text{ et }\sigma(\tau(i))>\sigma(\tau(j)) \rbrace\] \[A_2= \lbrace i<j ; \quad \tau(i) > \tau(j)\text{ et }\sigma(\tau(i))>\sigma(\tau(j))\, \rbrace.\]Notons que les ensembles \(A_1\) et \(A_2\) sont disjoints. Si \(B\) et \(C\) désignent respectivement l’ensemble des inversions de \(\sigma\) et de \(\tau\) on observe, sachant que \(\tau\) est une bijection, \(B= \lbrace \tau(i) < \tau(j); \quad \sigma(\tau(i))>\sigma(\tau(j))\, \rbrace = A_1 \cup \lbrace j<i ; \quad \tau(i)<\tau(j)\text{ et }\sigma(\tau(i))>\sigma(\tau(j)) \rbrace\)
et
\(C=A_2 \cup \lbrace i<j ; \quad \tau(i)>\tau(j)\text{ et }\sigma(\tau(i))<\sigma(\tau(j)) \rbrace\) et que les unions sont disjointes.
En changeant les indices (on permute les indices \(i\) et \(j\)) on voit que
\[D=\lbrace i<j ; \quad \tau(i)>\tau(j)\text{ et }\sigma(\tau(i))<\sigma(\tau(j)) \rbrace = \lbrace j<i ; \quad \tau(i)<\tau(j)\text{ et }\sigma(\tau(i))>\sigma(\tau(j)) \rbrace.\]Quand on somme les cardinaux des ensembles \(B\) et \(C\), on obtient \(\mathrm{card}(A_1)+\mathrm{card}(A_2)+ 2\mathrm{card}(D)\). Ceci permet d’affirmer que \(\mathrm{card}(A)=\mathrm{card}(A_1)+\mathrm{card}(A_2)\) a même parité que \(\mathrm{card}(B)+\mathrm{card}(C)\). D’où la propriété sur les signatures.
Anneaux
- Définitions et propriétés élémentaires
- définition d’un anneau, d’un anneau commutatif, d’un anneau unitaire
- règles de calcul (\(0_A\) est un élément absorbant)