L2 algèbre, semaines 1 et 2.

27/09/2012
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Avancement du cours d’algèbre (des structures) en L2 Math et L2 Info.

Le cours étant destiné aux L2 Math et L2 Info, certains n’ont pas suivi de cours d’arithmétique élémentaire.

Chapitre 1 - arithmétique élémentaire

  • propriété fondamentale de \(\mathbb{N}\) (toute partie non vide admet un plus petit élément)
  • division euclidienne dans \(\mathbb{Z}\)
  • arithmétique dans \(\mathbb{Z}\)
    • \(a\) divise \(b\), nombre premier, etc
    • Lemme d’Euclide
    • décomposition d’un nombre en produit de nombres premiers
    • PGCD (définition, identité de Bezout, théorème de Bezout, théorème de Gauss)
    • PPCM (définition, égalité \(\vert ab\vert=\textrm{ppcm}(a,b)\times \textrm{pgcd(a,b)}\)).
    • algorithme d’Euclide (standard et étendu, un exemple)
    • congruences

Chapitre 2 - groupe, anneau, corps

Loi de composition interne

Définition d’une lci, propriété d’une lci (associativité, commutativité), éléments particuliers (neutre, régulier, symétrisable) et leurs propriétés

Définition d’un homomorphisme (ou morphisme)

Notations, exemples

Groupe

Définition d’un groupe, d’un groupe abélien

Propriétés, notations, exemples

Définition d’un sous groupe. Théorème caractérisant un sous groupe

L’intersection d’une famille de sous-groupes est un sous-groupe. Définition du sous-groupe engendré par une partie.